Phép ngoại suy

Trong toán học, phép nội suy và phép ngoại suy là hai thuật ngữ quan trọng. Nội suy  có thể được định nghĩa là ước tính giữa các dữ liệu hoặc quan sát đã cho. Phép ngoại suy là một quá trình trong đó giá trị được ước tính vượt quá phạm vi cụ thể của biến đã cho. Nó cung cấp ước tính của quan sát bên dưới hoặc bên trên các giá trị đã cho. 

Phép ngoại suy có thể được đề cập đến dự đoán toán học về giá trị của một số biến dựa trên mối quan hệ được đưa ra trong dữ liệu cho cùng một biến hoặc biến khác. Quá trình này có nhiều sự không chắc chắn và rủi ro cao hơn để có được kết quả vô nghĩa hoặc sai. 

Quá trình ngoại suy được Thomas D. Clareson giới thiệu lần đầu tiên trong gần như1959 trong cuốn sách về khoa học và tiểu thuyết. Phép ngoại suy có thể được hiểu là sự mở rộng của dữ liệu hoặc quy trình giả định rằng quy trình tương tự cũng sẽ được áp dụng ngoài dữ liệu đã cho. Phép ngoại suy là một khái niệm quan trọng được sử dụng không chỉ trong toán học, mà còn trong các lĩnh vực khác, như xã hội học, tâm lý học, kinh nghiệm của con người, v.v.

Ví dụ:  khi chúng ta lái xe, chúng ta thường ngoại suy về các điều kiện đường xá ngoài tầm nhìn của chúng ta.
Phép ngoại suy có thể được gọi là phương thức trong đó các giá trị dữ liệu được coi là các điểm như x11, x22…, xnn và sau đó, một giá trị được tính gần đúng  ngoài phạm vi cho trước của các điểm. Phép ngoại suy tồn tại trong dữ liệu thống kê bởi vì điều này đã được trải nghiệm rất thường xuyên rằng nếu dữ liệu được lấy mẫu định kỳ, nó sẽ xấp xỉ điểm dữ liệu tiếp theo. Ví dụ tốt nhất là dự báo thời tiết trong đó lịch sử dữ liệu trước đó được xem xét và một mô hình dự đoán trong tương lai được ngoại suy. 

Chúng ta sẽ thảo luận về phép ngoại suy toán học trong trang này dưới đây. Vì vậy, hãy tiếp tục với chúng tôi và hiểu rõ hơn về khái niệm này, phương pháp và ví dụ của nó dựa trên điều này.

Định nghĩa


Từ ” ngoại suy ” bắt đầu bằng từ ” phụ ” có nghĩa là bên ngoài . Cũng giống như phép nội suy trong đó đề cập đến việc chèn một cái gì đó hoặc một số điểm giữa hai điểm đã cho; phép ngoại suy cũng có thể được định nghĩa là phép chèn bên ngoài bất kỳ hai điểm đã cho. Phép ngoại suy được cho là một ý kiến ​​hoặc ước tính về một cái gì đó được trích ra từ các sự kiện đã biết mở rộng hoặc mở rộng dữ liệu đã cho vào một khu vực không được biết đến, để đi đến một kiến ​​thức phỏng đoán về khu vực chưa biết. 

Khái niệm này cũng có thể được đề cập đến dự đoán về một hình ảnh của tương lai giả định xu hướng hiện tại và quá khứ là đúng. Phương pháp ngoại suy giả định rằng dữ liệu đã cho hoặc quan sátvà sẽ tiếp tục tương tự trong tương lai. Theo cách này, kết quả trong tương lai có thể được dự đoán. Phép ngoại suy có thể được coi là một giả thuyết hoặc một phỏng đoán toán học. Trong khi ngoại suy, người ta sử dụng dữ liệu và sự kiện được đưa ra trong tình huống hiện tại và đưa ra dự đoán về điều gì đó cuối cùng có thể xảy ra. 

Ví dụ:  Nếu chúng tôi có một số thông tin về Chủ nhật, Thứ Hai và Thứ Ba, chúng tôi có thể ngoại suy vào Thứ Tư hoặc Thứ Năm.
Một ví dụ về phép nội suy có thể định vị một điểm giữa hai điểm cuối đã cho của một đường thẳng; trong khi ngoại suy là quá trình xác định vị trí một điểm nằm ngoài đường thẳng tức là vượt ra ngoài hai thái cực của nó bằng cách mở rộng đường thẳng theo một trong hai hướng. 

Phép ngoại suy:  ước tính các giá trị a = 8 và b = 10 bên ngoài chuỗi đã cho 0, 2, 4, 6, a, b .

Công thức và phương pháp


Các phương pháp và công thức chính của phép ngoại suy được giải thích dưới đây. 

Phép ngoại suy tuyến tính:

Phương pháp ngoại suy tuyến tính rất hữu ích khi hàm số tuyến tính được đưa ra. Nó được thực hiện bằng cách vẽ một đường tiếp tuyến tại điểm cuối của đồ thị đã cho và mở rộng nó vượt quá giới hạn. Phép ngoại suy tuyến tính cung cấp kết quả tốt khi điểm được dự đoán không quá xa dữ liệu đã cho. 

Giả sử rằng hai điểm cuối của đồ thị tuyến tính là (x1, y1x1,y1) và ( x2, y2x2,y2) và giá trị của điểm x sẽ được ngoại suy; sau đó công thức ngoại suy được đưa ra dưới đây:
Công thức thăm dò:  y( x ) = y1+y(x)= =y1+x – x1x2- x1x-x1x2-x1( y2- y1)(y2-y1)
Phép ngoại suy đa thức:

Chúng ta biết rằng ba điểm cho một đa thức duy nhất. Đường cong đa thức có thể được mở rộng sau khi kết thúc dữ liệu đã cho. Phép ngoại suy đa thức thường được thực hiện bởi quá trình khác biệt hữu hạn của Newton hoặc với việc sử dụng công thức nội suy Lagrange . Đa thức bậc cao phải được ngoại suy với sự quan tâm đúng mức; bởi vì trong phép ngoại suy đa thức, có nhiều khả năng xảy ra lỗi và nếu xảy ra, ước tính lỗi của giá trị ngoại suy sẽ tăng theo cấp số nhân với mức độ đa thức. 

Phép ngoại suy hình nón:
Chỉ cần nhớ lại rằng một phần hình nón có thể được tạo ra với sự trợ giúp của 5 điểm được đưa ra gần cuối dữ liệu. Trong trường hợp, phần hình nón là hình tròn hoặc hình elip, đường cong sẽ lặp lại và nối lại chính đường cong đó. Parabola hoặc hyperbola sẽ không bao giờ tham gia lại. Nhưng những cái này có thể bị cong lại liên quan đến trục X. Phép ngoại suy hình nón có thể được thực hiện trên giấy với phần hình nón hoặc với sự trợ giúp của máy tính.

Ví dụ


Một vài ví dụ dựa trên phép ngoại suy được minh họa dưới đây: 

Ví dụ 1: Ngoại suy các điểm chưa biết trong chuỗi đã cho sau: 
1) 1, 4, 9, 16, 25, 64, x 
2) 45, 38, 31, 24, 17, 10 , y 

Giải: 
1) 1, 4, 9, 16, 25, 64, x 
= 122, 222, 322, 422, 522, 622, x 

Do đó x phải bằng 722
Vậy, x = 49 

2) 45, 38, 31, 24, 17, 10, y 
= 45, 45 – 7 = 38, 38 – 7 = 31, 31 – 7 = 24, 24 – 7 = 17, 17 – 7 = 10, y 

Do đó y phải bằng 10 – 7 
Vậy, y = 10 – 7 = 3Ví dụ 2:   Điểm cuối của một đường thẳng được cho bởi (0,3, 0,8) và (1,8, 2,7). Ngoại suy giá trị của x = 2.3. 

Giải pháp: Tại đây, x11 = 0,3, y11= 0,8 
và x22 = 1,8, y22= 2.7 

Công thức cho phép ngoại suy tuyến tính như sau:

y( x ) = y1+y(x)= =y1+x – x1x2- x1x-x1x2-x1( y2- y1)(y2-y1)
y( 2.3 ) = 0,8 +y(2.3)= =0,8+2,3 – 0,31,8 – 0,32.3-0,31.8-0,3( 2,7 – 0,8 )(2.7-0,8)
= 0,8+0,8+21,521,5( 1.9 )(1.9)
= 0,8+0,8+38153815
= 0,8+0,8+38153815
= 103103
y( 2.3 ) = 3,33y(2.3)= =3,33
Ví dụ 3:  Hai điểm đã biết nằm trên một đường thẳng là (0, 7) và (3, 10). Tìm giá trị của y tại x = 4,5 trên đường thẳng này bằng phép ngoại suy tuyến tính. 
Giải pháp:  Tại đây, x11 = 0, y11 = 7×22 = 3, y22 = 10
Công thức cho phép ngoại suy tuyến tính như sau:y( x ) = y1+y(x)= =y1+x – x1x2- x1x-x1x2-x1( y2- y1)(y2-y1)

y( 4,5 ) = 7 +y(4,5)= =7+3232( 3 )(3)

= 7 + 4,5= =7+4,5

y( 4,5 ) = 11,5

Được dịch từ https://math.tutorvista.com/calculus/extrapolation.html